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脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

単位分数の和(解答/解説)

[分数-1/3_1/6]のように、分子が1の 分数単位分数といいます。

分数を、分母の異なる単位分数で表すことにします。


例えば、[分数-2/7=1/4+1/28]です。


問題

[分数-7/15]を、3つの分母の異なる単位分数で表すとき、単位分数分母の組み合わせをすべて求めてください。



解説

求める分母を小さい順にX、Y、Zとします。
[分数-7/15=1/X+1/Y+1/z]
Xはもっとも小さい数なので、[分数-1/X]はもっとも大きい分数になります。

求める3つの分数の平均は、[分数-7/15÷3=7/45]で、
[分数-1/2=7/14]
[分数-1/3=7/21]
[分数-1/4=7/28]
[分数-1/5=7/35]
[分数-1/6=7/42]
[分数-1/7=7/49]
であるので、Xは3以上6以下であることがわかります。

  • Xが3のとき

[分数-1/Y+1/Z=7/15-1/3=2/15]
[分数-1/Y][分数-1/Z]の平均は[分数-1/15]で、Yは8以上13以下です。
それぞれのYについて確認してみます。
[分数-2/15-1/8=1/120,2/15-1/9=1/45,2/15-1/10=1/30,2/15-1/11=7/15×11,2/15-1/12=1/20,2/15-1/13=11/15×13,2/15-1/14=13/15×14]
以上より、問題の条件を満たす(X,Y,Z)の組み合わせは
(3,8,120)、(3,9,45)、(3,10,30)、(3,12,20)となります。

  • Xが4のとき

[分数-1/Y+1/Z=7/15-1/4=13/60]
[分数-1/Y][分数-1/Z]の平均は[分数-13/120]であるので、Yは5以上10以下です。
それぞれのYについて確認してみます。
[分数-13/60-1/5=1/60,13/60-1/6=1/20,13/60-1/7=31/60×7,13/60-1/8=11/120,13/60-1/9=19/180,13/60-1/10=7/60]
以上より、問題の条件を満たす(X,Y,Z)の組み合わせは(4,5,60)、(4,6,20)となります。

  • Xが5のとき

[分数-1/Y+1/Z=7/15-1/5=4/15]
[分数-1/Y][分数-1/Z]の平均は[分数-2/15]であるので、Yは6または7です。
それぞれのYについて確認してみます。
[分数-4/15-1/6=1/10]
[分数-4/15-1/7=13/15×7]
以上より、問題の条件を満たす(X,Y,Z)の組み合わせは(5,6,10)となります。

  • Xが6のとき

[分数-1/Y+1/Z=7/15-1/6=3/10]
[分数-1/Y][分数-1/Z]の平均は[分数-3/20_1/6]ですが、[分数-1/7=3/21]なのでYがZより大きくなってしまいます。よって適当なYはありません。

以上より、(X,Y,Z)の組み合わせは、(3,8,120)、(3,9,45)、(3,10,30)、(3,12,20)、(4,5,60)、(4,6,20)、(5,6,10)です。


解答

(3,8,120)、(3,9,45)、(3,10,30)、(3,12,20)、(4,5,60)、(4,6,20)、(5,6,10)です。


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