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脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

ひもの長さ(解答/解説)

問題

長さが10cmと19cmの2種類のひもがたくさんあり、これらを結んでいろいろな長さのひもを作ります。
ひもは結ぶと結び目1つにつき3cm短くなります。

例えば、10cmのひも2本と19cmのひも1本を結ぶとき、3本のひもの長さは合わせて39cmありますが、3本を結ぶので結び目は2つ必要で、結んだあとの長さは結び目2つ分短くなり33cmとなります。

ひもの結び目の図

例のように10cmのひも2本と19cmのひも1本を組み合わせると33cmの長さになりますが、2種類のひもをどのように組み合わせても34cmの長さにすることはできません。
このように2種類のひもをどのように組み合わせても作ることのできない最大の長さは何cmになるでしょうか。
ただし、長さは整数のみを考えるものとします。


解説


10cmと19cmの2種類のひもがありますが、まず10cmのひもだけで作ることができる長さを考えてみましょう。
10cmのひもを2本、3本、4本、・・・と結んでいきます。

10cmのひもだけを結ぶとき

図のように10cmのひもは、1本のとき10cm、2本のとき17cm、3本のとき24cm、4本のとき31cm、・・・となります。 10cmのひもを1本結ぶと全体のひもの長さは、結び目の3cmを除いた7cm長くなります。
よって、次のような表を作ると、表の右端の列の10cmから7cmずつ長くなっていく長さは10cmのひもだけで作ることができる長さを表します。


表1

つぎに、19cmのひも1本に10cmのひもを結んで作ることのできる長さを考えてみましょう。


19cmのひも1本と10cmのひもを結ぶとき


19cmのひも1本に10cmのひもを結んでいくと、10cmのひもだけを結んだときと同様に10cmのひもを1本結ぶごとに7cmずつ全体のひもの長さは長くなっていきます。
この結果も表に書きこみます。

表2


同様に19cmのひも2本に10cmのひもを結ぶときを考えます。
19cmのひも2本を結ぶと長さは、19cm×2−3cm=35cmです。
35cmに10cmのひもを結んでいくので、7cmずつ増える42cm、49cm、56cm、・・・の長さは作ることができます。

これを、19cmのひもを3本、4本、・・・と増やしていって、表に書きこむと次の表になります。

表3


表の色のついた長さは、2種類のひもで作ることのできる長さです。
この表から、作ることのできない最大の長さは92cmであると分かります。



解答

92


>>次回出題は2007/07/30(9時)です、お楽しみに♪

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投稿者 投稿日時 コメント
mohi さん 06/25 09:42:28 なかなかに苦労しましたが、けっこうあっさり解けました。
1番うれしいっす。
kr さん 06/25 10:54:58 問題文を理解するのが難しかった。
あとはmod7で一番大きいものを探したら
わりとすぐに答えが見つかった
くりぼー さん 06/25 11:42:16 mohiさん、krさん、早い!
次こそ一番を・・・。
ひねくれ さん 06/28 02:53:33 問題文を理解するのに時間かかってしまいました。
とりあえず、ここに来られてホッとしてます。
諦めないでよかったぁ〜
タダミチ さん 06/28 17:42:11 最初、10cm 、19cm の2種類を必ず組み合わせると
言う制限があるものと思い込んでいました。
10cmだけ、19cmだけを使ってひもを作っても良かったの
ですね。それを理解したらすぐとけました。
ばやん さん 06/29 10:16:18 エクセルに頼ってしまいました。
10pのヒモをχ本,19pのヒモをy本とすると
ヒモの長さは(7χ+16y+3)pなので
あとは,χ,yにいろんな数字を代入して
調べました。
k&k さん 06/30 21:27:26 19-3=17?
なぜか答えが違うと思ってたら、 変なところで間違えていた。。
私の解き方
10cmの縄を使えば、7cmずつ長さが増えていく
つまりmod7(7で割った余り)の値が[0,1,2,3,4,5,6]
すべてそろえばそれ以降はすべての長さを作る事が
出来るあとは、19cmの縄が何本必要か考え
(0〜6本で7パターンできるから、6本目が最高値と予測)
((19-3)*6)+3 = x + 7
x=92
最初とまどったけど、解いてみたら意外と簡単だった。
ってことで、主観的な難易度は
易 ( 1 A 3 4 5 ) 難
だーだー さん 07/04 23:32:32 難しかった〜。
丸1日かかりました。

ただ、7x+16yで作ることのできない最大の整数が
なぜ(7-1)(16-1)-1であるのかがわからない。偶然?
y さん 07/15 16:29:08 a,bの組み合わせを表にしてみました。
眺めていると0≦b≦6の範囲の奇数、偶数に単純な
規則性があることに気づきました。
反則技のようですっきりしませんがなんとか答えに
たどり着きました。
おじさn さん 07/19 12:29:06 とりあえず答えは出たけれど、一般化できない。
チャレンジします。
ベンジャミン さん 07/19 14:22:44 この手の問題は,整数論を使っても解けるし,
Excelなどを用いて腕力で答えを見つけることも可能。
Excelで答えを見つけた自分が少々情けない。
yatu さん 07/20 20:19:05 数学的な解き方が思いつきませんでした。
Wordで数字の表を書き、作れる長さの所に「x」を
つけていく方法で挑みました!
解けるとかなりすっきりしますね〜〜!