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脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

カードの色(解答・解説)

上から順番に1、2、3、・・・と番号の書かれた偶数枚のカードが重ねてあります。

これを次の1〜3の手順によって混ぜていきます。



1. 上段と下段が同じ枚数になるように2組に分けます。

2. 上段と下段のカードが1枚ずつ交互に重なるようにします。

3. これを合わせてひとまとまりに重ねます。 



この1〜3の作業を1回として、何回もくりかえします。



例えば、16枚のカードでこの作業を1回行うと次のようになります。

作業の手順"

1. 8枚ずつ、1〜8の上段と9〜16の下段の2組に分けます。

2. 1番上が1のカード、2番目が9のカード、3番目が2のカード、4番目が10のカード・・・ というように上段と下段
   のカードが交互になるように重ねます。

3. これをひとまとまりに重ねます。



では、上から順番に1〜36の数字が書かれた36枚のカードで始めたとき、 初めてすべてのカードが元の位置に戻るのは何回この作業をくりかえしたときですか。

また、この作業を32回くりかえしたとき、元の位置に戻っているカードをすべてあげてください。



正解者用掲示板のパスワードには、 初めてすべてのカードが元に戻るときの作業の回数に続けて、32回くりかえしたときに元に戻っているカードを小さい順に 半角数字で入力してください。

例えば、初めてすべてのカードが元に戻るときの作業の回数が15回で、32回くりかえしたときに元に戻っているカードが 小さい順に1、7、19、36であるときは「15171936」と入力してください。





解説


まずは1回カードきってみましょう。


1回きった後の状態"

1のカードと36のカードは1回きっても位置が1枚目と36枚目で変わりません。
何回きっても位置の変わらない1と36のカードを第1グループとします。


次に2のカードがどのように移動するか考えてみます。
1回きると、2のカードは3枚目に移動します。
2回きると、3枚目のカードは5枚目に移動するので、2のカードは5枚目に移動します。
(上の図の3のカードの移動と同じです)
3回きると、5枚目のカードは9枚目に移動するので、2のカードは9枚目に移動します。
(上の図の5のカードの移動と同じです)
これを繰り返すと2のカードはカードは次のように移動します。

2のカードの移動"

2のカードは12回きると元の位置に戻ります。

ここで、2のカードは、2枚目→3枚目→5枚目→9枚目→17枚目→33枚目→30枚目→24枚目→ 12枚目→23枚目→10枚目→19枚目→2枚目と移動するので、3、5、9、17、33、30、24、12、23、10、19の カードも同じように12回きると元の位置に戻ることになります。

例えば、3のカードは次のように移動し、12回きると元の位置に戻ります。

3のカードの移動"

この2、3、5、9、17、33、30、24、12、23、10、19のカードを第2グループとします。


同様に4のカードの移動を考えると次のように12回きると元に戻るので、 4、7、13、25、14、27、18、35、34、32、28、20のカードを第3グループとします。

4のカードの移動"


さらに、6のカードの移動は次のように3回きると元の位置に戻るので、 6、11、21のカードを第4グループとします。

6のカードの移動"


8のカードの移動は次のように4回きると元の位置に戻るので、 8、15、29、22のカードを第5グループとします。

8のカードの移動"


16のカードの移動は次のように3回きると元の位置に戻るので、 16、31、26のカードを第6グループとします。

16のカードの移動"


まとめると次のようになります。

グループ分け"


以上から、すべてのカードが元に戻るのは、各グループの元に戻るまでの回数の 最小公倍数の 12回となります。


また、32回くりかえしたとき元の位置に戻っているカードは、元に戻るまでの回数が32の 約数になっているグループなので、 第1グループと第5グループの1、36、8、15、29、22のカードとなります。


解答


すべてのカードが元の位置に戻る回数:12回
32回くりかえしたとき元の位置に戻っているカード:1、8、15、22、29、36





>>次回出題は2011/5/30(15時)です、お楽しみに♪

>>他の問題を解いてみる



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投稿者 投稿日時 コメント
塾長 さん 04/25 18:00:57 む・む・むずい
エウレーカ さん 04/25 18:03:13 かなり力わざで答えを出しちゃったけど、
面白かったです。
doradatti さん 04/25 19:05:23 同じく力ずくでやっちゃいました。
もっと楽な方法考えてみます。。。
りゅう さん 04/25 19:40:44 このような作業を行った場合、それぞれの数字が順番
として、どのように変わっていくかに注目すると、
次の7つのグループに分けることが出来ます。
1 常に順番が変わらないもの
  (1),(36)
2 3回で元に戻るもの(この順で変わります)
  (6,11,21),(16,31,26)
3 4回で元に戻るもの(この順で変わります)
  (8,15,29,22)
4 12回で元に戻るもの(この順で変わります)
  (2,3,5,9,17,33,30,24,12,23,10,19)
  (4,7,13,25,14,27,18,35,34,32,28,20)
メリー さん 04/25 21:31:19 ムズかったけど、楽しかった(・∀・)
ばやん さん 04/25 23:38:48 エクセルに頑張ってもらいました。
プロのマジシャンなら、正確にこの回数シャッフルすれば
元に戻せるということですね。
ロイヤルロード さん 04/26 17:52:53 集中力で解きました。楽しめました。
tokumei さん 05/09 08:27:42 できたけど、
良い方法ないかな?
hellocode さん 05/13 21:46:04 n = 36
例 i = 2
(3, 5, 9, 17, 33, 30, 24, 12, 23, 10, 19, 2)
i番目が次に移動する位置
i + (i - 1) 条件(i <= n/2)
i - (n - i) 条件(n/2 < i)
12回周期で元に戻るから、
32 % 12 = 8
後は8回自力で動かして調べました。
4p13 さん 05/17 10:21:28 ひたすら書きました(汗)
予想は枚数の4分の1回かな?って思いましたが・・・(笑)