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脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

平方数の下2けた(解答/解説)

問題

同じ数を2回かけることを2乗するといいます。
300を2乗すると90000、900を2乗すると810000となります。
これらのように、3けた以上の数で、下2けたが「00」の数を2乗すると、どのような数であっても下2けたは「00」になります。
301を2乗すると90601、901を2乗すると811801となり、下2けたが「01」の数も同様です。


このように、2乗しても下2けたが同じになる数(「00」と「01」以外)をすべて求めてください。


正解者掲示板のパスワードには、答えを小さい順に半角で入力してください。
例えば、答えが「04」、「11」、「24」のときは、「041124」と入力してください。


解説

3けた以上の数を2乗したときの下2けたを考えます。
まず下の筆算を見てください。

かけ算の筆算

これらのように、百の位以上の位の数はどのような数でも下2けたには影響しないので、2けたの数を2乗して、下2けたがもとの数と同じになるものを探せばよいのです。
2けたの数といっても「00」から「99」まで100通りもあり、すべてを順番に調べていっては大変な手間がかかってしまいます。

そこでまず、一の位について考えてみましょう。
2乗して一の位が同じにならなければならないので、1けたの数を2乗して一の位が同じになるものを探してみましょう。
このような数は、

  • 0×0=0
  • 1×1=1
  • 5×5=25
  • 6×6=36

の4通りだけです。

一の位が「0」のときを考えてみましょう。
一の位が「0」の2けたの数を2乗すると、その下2けたは必ず「00」になります。
よって、2けたの数を2乗して、下2けたがもとの数と同じになるものは「00」以外にはありません。

つづいて、一の位が「1」、「5」、「6」の場合を考えますが、十の位を「0」〜「9」にして、すべてをそのまま計算してはまだまだ大変そうです。
そこで、2乗するという計算を下の図のように正方形の面積として考えてみましょう。

例えば、51の2乗の51×51は、たてと横の長さが51の正方形の面積と同じです。

平方数の下2けたの解説図1

また、51=50+1なので、「51」を「50」と「1」に分けて、上の正方形の面積を下の図のように分けても同じです。

平方数の下2けたの解説図2

図の正方形の面積は、黄緑色の部分と2つの黄色の部分と水色の部分に分けられます。
つまり、51×51=50×50+50×1×2+1×1ということになります。
この図を使って、一の位が「1」のときを考えてみます。
図は十の位が「5」の「51」のときを表していますが、黄緑色の正方形の辺の長さは、十の位が「3」であれば「30」に、「6」であれば「60」に変わります。
問題では下2けただけ考えればよいので、黄緑色の部分の面積は、1辺の長さの一の位は「0」なので、十の位が何であっても下2けたは「00」になり、考える必要はありません。
黄色と水色の部分の面積の下2けただけを考えればよいのです。
水色の部分の面積は「1」です。
黄色の部分の面積は十の位の数によって変わります。

平方数の下2けたの解説表1

上の表のように2けたの数を2乗して、下2けたがもとの数と同じになるものは「01」だけです。

一の位が「5」のときも同じように考えてみます。
下の図は「35」のときの図です。

平方数の下2けたの解説図3

水色の部分の面積は「25」です。
黄色の部分の面積は、〔黄緑色の部分の正方形の1辺の長さ〕×5×2です。
これは、〔黄緑色の部分の正方形の1辺の長さ〕×10と同じです。
黄緑色の部分の正方形の1辺の長さは必ず10の倍数なので、〔10の倍数〕×10の下2けたは「00」になります。
つまり、一の位が「5」のときの下2けたは、水色の部分の面積と同じ「25」になります。
よって、2けたの数を2乗して、下2けたがもとの数と同じになるものは「25」だけです。

一の位が「6」のときも同じように考えてみます。
下の図は「36」のときの図です。

平方数の下2けたの解説図4

水色の部分の面積は「36」です。
黄色の部分の面積は十の位の数によって変わります。

平方数の下2けたの解説表2

以上より、2けたの数を2乗して、下2けたがもとの数と同じになるものは「00」、「01」、「25」、「76」です。

解答

25と76


>>次回出題は2007/02/26(9時)です

>>他の問題を解いてみる


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投稿者 投稿日時 コメント
ぺこ さん 01/29 23:45:47 できた・・・。
マジックM さん 01/30 05:10:43 1けたで2乗して同じ数が出てくるのは、0と1と5と6の4つ。
0と1はその他はありえない事がすぐわかったから5と6を十の位を
入れていって考えました。
これって何かに気がつくともっと簡単に解けるのかな?
taka-ary さん 01/30 13:31:21 文字を置いて考えましたが結構たいへんでした。
2桁だから代入していくのが一番簡単な気がしました。
ばやん さん 02/01 09:24:59 エクセルをつかって考えました。
これって卑怯?
昔算数好き
だった さん
02/05 09:48:28 76はまったく思いつきませんでした。
EXCELを使いました。
たー さん 02/05 12:20:49 一の位は0,1,5,6。
十の位をaとおいて、
(10a+0)^2,(10a+1)^2,(10a+5)^2,(10a+6)^2
を考えて、十の位が再びaになるようにする
繰り上がりの考慮も必要ですね。
kazu さん 02/05 23:39:57 電卓で一つ一つ計算しました・・・
k&k さん 02/10 11:36:04 68のかた(マジックMさん)と一緒です。
一回C言語でプログラム作ったほうが早いかなって思ったけど
、 所詮2桁なので20回計算すれば、終わりですし。
これが3桁なら、公式見つけるか、プログラム作るかですね。
以下C言語分かる方へ
for文100回まわして
if((i*i)%100 == i)
printf("%d \n",i);
英ちゃん さん 02/10 17:23:53 一の位は0,1,5,6でないと条件を満たす数はありません。
一の位が0の場合は下2桁が00になってしまうためなし。
一の位が1の場合は十の位をaとするとa+a=aを満たす数は0以外に
ないためなし。
一の位が5の場合は十の位をaとするとaが偶数なら0+2=aとなり
a=2、よって25が一つ
aが奇数なら5+2+5=aでそんなaは存在しないためなし
一の位が6の場合は十の位をaとするとaが偶数なら3+a+a=aを
満たすaはなし
奇数の場合は5つ調べればいいので調べて解を得ました。
ゆうくん さん 02/11 21:45:11 今日は自分の誕生日です。偶然このサイトを見つけました。
この問題に似た数字で142857という数字があります。
142857x2=285714
142857x3=428571
142857x4=571428
142857x5=714285
142857x6=857142
142857x7=999999
142857x8=1142856(先頭の1と末尾の6を足すと7になる)
142857x9=1285713(先頭の1と末尾の3を足すと4になる)
という不思議な整数です。この性質を持つ最小の自然数です。
この次の同じ性質を持つ自然数はいくつでしょう。
H19年2月末日までならメール解答します。