インターネット・エクスプローラー(Internet Explorer 4以下)、ネットスケープ (Netscape 4.7以下)、テキストブラウザなどに対応したモードで表示しています。
数理検定協会はスタイルシートという仕組みを使用したページを提供しており、お使いのブラウザにより表示が異なりますが、サイト上にある情報はすべて問題なくご利用になれます。

脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

9がいっぱい(解答・解説)

次のように、すべての位がの数字が9で、桁の数が1つずつ増えていく足し算があります。


9+99+999+9999+99999+・・・


この計算を9が9999個並ぶ数まで続けると、計算の結果にはいくつの1が現れますか。



正解者用掲示板のパスワードには、 計算の結果に現れる1の数を半角数字で入力してください。

例えば、5432個であるときは「5432」と入力してください。





解説


9が並んだ数は次のように表すことができます。


9=10−1
99=100−1
999=1000−1
9999=10000−1
・・・
9999…9999[9が9999個並んだ数]=1000…000[初めの1の後ろに0が9999個並んだ数]−1


これを利用して、9+99+999+9999を考えてみると次のように計算することができます。


9+99+999+9999
=(10−1)+(100−1)+(1000−1)+(10000−1)
=10+100+1000+10000−1×4
=11110−4
=11106


同様に考えると、9+99+999+9999+・・・+9999…9999[9が9999個並んだ数]の計算は、

9+99+999+9999+・・・+9999…9999[9が9999個並んだ数]
=(10−1)+(100−1)+(100−1)+(1000−1)+(10000−1)+
  ・・・+(10000…0000[1の後ろに0が9999個並んだ数]−1)
=10+100+1000+10000+・・・+10000…0000[1の後ろに0が9999個並んだ数]−1×9999
=11111…11110[1が9999個並んだあと一の位が0の数]−9999

ここで、9999=10000−1なので、

11111…11110[1が9999個並んだあと一の位が0の数]−9999
=11111…111110[1が9999個並んだあと一の位が0の数]−(10000−1)
=11111…11110[1が9999個並んだあと一の位が0の数]+1−10000
=11111…11111[1が10000個並んだ数]−10000
=11111…01111[万の位だけ0で残りはすべて1の数(1は9999個)]





解答


9999個





>>次回出題は2011/3/28(15時)です、お楽しみに♪

>>他の問題を解いてみる



正解者用掲示板の過去ログ公開

正解者用掲示板に投稿いただいた投稿者とコメントを公開
※原則として10番目の投稿まで公開いたします。
※メールアドレスは公開いたしません。

投稿者 投稿日時 コメント
塾長 さん 02/28 21:51:22 1がいっぱいですね。
YU さん 02/28 22:00:47 定番かな(^^)
エウレーカ さん 02/28 22:23:35 高校で習う級数の知識を使ってしまったけど、
小学生に説明できる解法はないだろうか?
パナタ さん 03/01 09:07:56 簡単すぎて拍子抜けしてしまいました^^;
和をxとすると、
x + 9999 = 11111………11110(10000桁)
9999を移項しても1の数は変化しないので
結局、1の数は9999個
りゅう さん 03/01 14:51:58 難しかったです。繰り上がりがあって、
どう考えたらよいのかわかりませんでした。
まず、各桁ごとに繰り上がりを考慮しない計算値
(便宜上Aとします)を出してみました
(下から1桁目 9*9999=89991...)。
その上で、上の方と下の方の何桁かを繰り上がりを
考慮して試算してみました。
下から5桁目だけ例外的に0になることがわかりました。
各桁の足す数字を眺めていると、1つ目が1減ったときは、
2つ目が1増えるなどしており、Aの桁数が変わるところ
でも同様であることから回答としました。
数学的に解いていないので正解とは言えませんね。
もう少し、考えてみます。
匿名 さん 03/01 19:24:03) 9+99+999+…+(9が9999桁並ぶ数)
=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+…+{(1の後に0が9999桁並ぶ数)-1}
=10+100+1000+…+(1の後に0が9999桁並ぶ数)-1×9999
=10+100+1000+…+(1の後に0が9999桁並ぶ数)-9999
=10+100+1000+…+(1の後に0が9999桁並ぶ数)+1-10000
=(1が9999桁並び、最後の桁が0の数)+1-10000
=(1が10000桁並ぶ数)-10000
したがって、1は9999個並ぶ
ロイヤルロード さん 03/02 12:03:35 少々疲れましたが、楽しく解かせていただきました。
古松坂2号 さん 03/03 18:25:14 9999個の数に全て1を加えると1が9999個並んだ後に
0が付いた数になる。
そこから加えた9999を引くと,1が9995個並んだ後に
01111が付いた数になる。
よって,1の数は9995+4個になるんだよね。
いやいや,おもしろいなぁ〜。
みかん さん 03/05 17:33:32 久しぶりの投稿
つも さん 03/06 16:31:03 9+99+・・・99999999…を
(10^1-1)+(10^2-1)+・・・+(10^10000-1)
と置き換えると、
(10^1+10^2+10^3+・・・+10^10000)-(1+1+1+1+1+1・・・)
となる。
左側は11111111…と1が10000個並び、右側は10000
よって、10000桁目が0となって、それいがいは
1が9999個存在するという考え方です。