インターネット・エクスプローラー(Internet Explorer 4以下)、ネットスケープ (Netscape 4.7以下)、テキストブラウザなどに対応したモードで表示しています。
数理検定協会はスタイルシートという仕組みを使用したページを提供しており、お使いのブラウザにより表示が異なりますが、サイト上にある情報はすべて問題なくご利用になれます。

脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

正方形は何個できる?(解答/解説)

問題

下の図は、点をたて、横同じ間隔で6個ずつ、計36個並べたものです。

点図

これらの点の中から4個の点を選び、選んだ点を頂点とする四角形を作ります。

四角形が正方形となる4点の選び方は全部で何通りありますか。



解説

正方形の大きさで場合分けをして求めてみましょう。正方形の大きさは1辺の長さで決まります。斜めの辺があることに注意しましょう。

斜めの辺があるときとないときで分けて、場合を分けて数えます。

☆I 斜めの辺を使わないとき

点図
  • 1: 1辺が1のとき  正方形は5×5=25通り
  • 2: 1辺が2のとき  正方形は4×4=16通り
  • 3: 1辺が3のとき  正方形は3×3=9通り
  • 4: 1辺が4のとき  正方形は2×2=4通り
  • 5: 1辺が5のとき  正方形は1×1=1通り

1:〜5:で55通り

☆II 斜めの辺を使うとき

点図
  • 1:のとき 16通り
  • 2:のとき 18通り
  • 3:のとき 8通り
  • 4:のとき 2通り
点図
  • 5:のとき 4通り
  • 6:のとき 2通り

1:〜6:で50通り

I、IIより全部で105通り

別解

もとの5×5の正方形を1×1、2×2、3×3、4×4、5×5の5つの正方形に分けて考え、そのそれぞれの正方形の辺上に頂点を持つ正方形を数えます。

1: 1×1の正方形のとき

点図

1×1の正方形の辺上に頂点を持つ正方形は1通り

2: 2×2の正方形のとき

点図

2×2の正方形の辺上に頂点を持つ正方形は2通り

3: 3×3の正方形のとき

点図

3×3の正方形の辺上に頂点を持つ正方形は3通り

4: 4×4の正方形のとき

点図

4×4の正方形の辺上に頂点を持つ正方形は4通り

5: 5×5の正方形のとき

点図

5×5の正方形の辺上に頂点を持つ正方形は5通り


また、もとの正方形に1×1の正方形は5×5=25通り、2×2の正方形は4×4=16通り、3×3の正方形は3×3=9通り、4×4の正方形は2×2=4通り、5×5の正方形は1×1=1通りあるので、求める正方形は、

1×25+2×16+3×9+4×4+5×1=105通り



解答

105通り


>>他の問題を解いてみる