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脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

3の倍数(解答/解説)

問題

3の倍数を3から2007まで順に並べます。


3,6,9,12,15,18,21,・・・・・,2004,2007


この並べたものを、さらに1つ1つの数字に分けて下のように並べかえます。


3,6,9,1,2,1,5,1,8,2,1,・・・・・,2,0,0,4,2,0,0,7


この数字の並びには全部で2307個の数字が出てきます。
2番目に多く出てくる数字と2番目に少なく出てくる数字を求めてください。


正解者用掲示板のパスワードには、2番目に多く出てくる数字と2番目に少なく出てくる数字を順番につづけて半角で入力してください。
2番目に多く出てくる数字と2番目に少なく出てくる数字は、それぞれ1つとはかぎりません。
複数ある場合は、小さい数字から入力してください。
例えば、2番目に多く出てくる数字が「1」と「7」、2番目に少なく出てくる数字が「6」のとき「176」と入力してください。


解説


一の位、十の位、百の位、千の位に分けて考えます。

一の位
3の倍数の一の位は、
3,6,9,2,5,8,1,4,7,0,3,6,9,2,5,・・・
というように「3,6,9,2,5,8,1,4,7,0」の順番で10個の数字がくり返されます。
2007は669個目の3の倍数なので、
669÷10=66 あまり9
これは、「3,6,9,2,5,8,1,4,7,0」が66周して、そのあと3,6,9,2,5,8,1,4,7まで出るということです。
よって、一の位は「0」が残りの数字より1個少ないことが分かります。
「1」から「9」までの数字はそれぞれ67個、「0」が66個です。

十の位
2けた以上の3の倍数を並べると、
12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,・・・
となります。
このうち、十の位の数字だけを並べると、
十の位の周期
となり、以降はこのくり返しです。
上の数字の並びは12から309までですが、「0」から「9」まですべて10個ずつ出ています。
これが1809までで6回くり返されます。
つづく1812からは2007までは次のようになります。
十の位の周期(1812から2007)
よって、「1」、「4」、「7」、「0」が他の数字より1個少ないことが分かり、66個出てきます。
残りの「2」、「3」、「5」、「6」、「8」、「9」は67個です。

百の位
100台で33個、200台で33個、300台で34個・・・というように3の倍数があります。
102から2007までにそれぞれの数字の出てくる個数は次のようになります。
百の位の周期
「2」、「3」、「5」、「6」、「8」、「9」に比べて、「1」、「4」、「7」は1個少なく、「0」は31個少ないです。

千の位
1002から2007までで、1000台が333個、2000台が3個の3の倍数があります。
よって、「1」が333個、「2」が3個出てきます。
他の数字は出てきません。

以上をまとめると、千の位で多く出た「1」が1番多く、2番目に多いのは千の位で3個出た「2」です。
もっとも少ない数字は百の位で少なかった「0」、次に少なかったのは十の位と百の位で少なかった「4」と「7」です。

それぞれの数字の出てくる個数をまとめると次のようになります。
数字の個数



解答

2番目に多く出てくる数字・・・2
2番目に少なく出てくる数字・・・4と7


>>次回出題は2007/10/29(9時)です、お楽しみに♪

>>他の問題を解いてみる


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投稿者 投稿日時 コメント
プチコマ さん 09/24 10:02:40 2番目に少なくでてくる数字が2個あるので
パスワードの入力に手間取ってしまいました。
問題文含めて人の話はよく聞かねば・・・反省。

とかいってすみません。プログラム書いて解きました。。。
タダミチ さん 09/24 13:34:49 時間がかかりました。3の倍数を、昇順に100個づつ
区切って個々の数字の数を求め、それを表にまとめて
解を得ました。

良くこのような問題を考えつくなと感心いたしました。
ばやん さん 09/25 12:21:05 エクセルで解きました。
まず,3倍して3の倍数をつくる。
RIGHT関数で右から1つめの数字を取り出して
3の倍数からその数を引きます。
10で割って位をひとつ落とし
同じ事を繰り返します。
そうして各位の数値を取り出して
COUNTIF関数で数えさせました。
エクセルの関数の良い勉強になりました。
もっと便利の良い関数があるとは思いますが
見つけられませんでした。
k&k さん 09/25 23:25:23 10分くらいしてめんどくなって、エディタ使いました。

1番多いいのは千の台で使われている1
1番少ないのは百の台で使われていない0
2番目に多いいのは最後千の台で使われている2

あと1の台と100の台では、1−9の数は同じであるため
あとは10の台を考えれば終わりだったんだけど
エディタとかで、3−2007まで書き込み「1→a」とか変換
して変換された数を見ればいいという誘惑に負けました。

てなことで今回は、主観的な難易度は、
解いてないので書けません。
haku さん 09/29 02:08:12 地道にやりましたが、解けて嬉しかったです。
一の位は30で1周
0が-1個
十の位は300で1周
0が+4個 3,6,9,2,5,8が+1個
百の位は1099で1周
0が-30個
千の位は、1が圧倒的に多く、
2が+3個
これらをまとめて、答えを得ました。
CPA30 さん 09/30 06:36:01 すみません、エクセルで解いちゃいました。
(解いたとは言えませんよね・・・・)
なんとなくベンフォードの法則に従うんだろうなーとは
思いつつやってみると意外とずれてることに気付きました

TRUNC関数を使って、それぞれの位を取り出したんです
けどなんか他にいい方法あったんですかね。
sena さん 10/01 23:18:08 私は1〜300までで1サイクルだと思い1〜100までの
三の倍数を地道に書いて計算しました。
でも勘の良い人は問題文を見て2、4、7、0のどれかと
思い運良くパスがわかってしまいそうですね。
dise さん 10/07 18:05:34 初めての参加です。
1の位、10の位、100の位、1000の位で
それぞれの数字が何回でてくるか考えて解きました。
要するに、地道にノートの上で解きました。
なかなか面白い問題だったと思います。
こういう問題好きです。
(解くスピードはあまり速いほうではないですけど・・・)
一応それぞれの数字の合計を示しておきます。
(間違ってたらごめんなさい。)
1が532回、
2が204回、
3と5と6と8と9が201回、
4と7が199回、
0が168回
となりました。
PMCチャンピオン さん 10/12 14:54:36 やっと解けました。
私も地道に考えまして
300で1サイクル、その中で1の位、10の位、100の位、
で考えていきました。
1000の位は1と2だけなので、1がダントツに1番だと
仮定しました。
1の位は同じ数なので無視。
(最後は2007なので0が一つ少ない)
10の位は100単位で300までで10こずつ
(最初は0が少ない)
2007までの中で1,4,7が少ない。
(2007を300で割った余り分のところで1,4,7出現)
100の位は3000単位ですが、
0000の台と1000の台で考えて、0が圧倒的に少なく、
その中でも1、4、7が少ない。
(1,4,7が2000の台でほんとは出てくる数字)
ということで、1が1000の位で稼いだので1番目。
2は1000の位で+3個で2番目。
残り0が圧倒的に少ないので2番目に少ないのは4,7
という風に考えました。
論理的ではないですけど、なんとなく解けました。
shibu さん 10/18 12:49:22 1、10、100、1000の位に場合分けして考えました。
3の倍数は各位に0〜9まで全ての数がでてくるので
ややこしかったです。
1の位は10周期、100の位は100周期を計算しました。
おもしろかったです。