インターネット・エクスプローラー(Internet Explorer 4以下)、ネットスケープ (Netscape 4.7以下)、テキストブラウザなどに対応したモードで表示しています。
数理検定協会はスタイルシートという仕組みを使用したページを提供しており、お使いのブラウザにより表示が異なりますが、サイト上にある情報はすべて問題なくご利用になれます。

脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

二等辺三角形の数(解答・解説)

下の図のような正四面体ABCDがあり、各辺の中点をE〜Jとします。

正四面体ABCD

A〜Jの10個の点のうち3個を選んで三角形を作ります。

このとき、三角形が二等辺三角形正三角形となる場合も含みます)となるような3個の点の 選び方は何通りありますか。



正解者用掲示板のパスワードには、 答えを半角数字で入力してください。

例えば、答えが100通りのときは「100」と入力してください。





解説


選ぶ3個の点に正四面体の頂点(A〜D)を何個含むかによって場合を分けて考えます。

  • 頂点だけを3個選ぶとき

正四面体の4つの頂点から3点を選ぶと、できる三角形は正四面体の面の正三角形となります。
このような3点の選び方は4通りあります。



  • 頂点を2個、中点を1個選ぶとき

4つの頂点のうちどの2点を選んでも、その2点を結ぶと正四面体の辺になります。

選ぶ頂点がAとBの場合を考えます。
辺AB上のEを選んでも三角形にはなりません。
また、F、G、H、Jのいずれを選んでもできる三角形は正三角形を半分にした直角三角形となり、二等辺三角形にはなりません。
Iを選んだ場合だけは図のようにAI=BIの二等辺三角形になります。

頂点2個、中点1個を選んだときの二等辺三角形

このような三角形は、4つの頂点から2個を選ぶ選び方、つまり正四面体の辺の数と同じなので、6通りあります。



  • 頂点を1個、中点を2個選ぶとき

選ぶ1個の頂点をAとして考えます。


中点からEとFを選ぶと、三角形は正三角形となります。

頂点1個、中点2個を選ぶとき(その1)

このような三角形は正四面体のAを含む面に1つずつAEF、AFG、AEGがあるので、3通りです。


中点からEとHを選ぶと、三角形はEA=EHの二等辺三角形となります。

頂点1個、中点2個を選ぶとき(その2)

このような三角形は正四面体のAを含む面にAEH、AFHのようにそれぞれ2つずつあるので、6通りです。


中点からHとJを選ぶと、三角形はAH=AJの二等辺三角形となります。

頂点1個、中点2個を選ぶとき(その3)

このような三角形はAHJ、AHI、AIJの3通りです。


以上から、Aと中点2個を選んでできる二等辺三角形は、3+6+3=12(通り)あります。

頂点をB、C、Dとしてもそれぞれ同じ数の二等辺三角形ができるので、頂点を1個、中点を2個選んでできる二等辺三角形の数は、
12×4=48(通り)あります。



  • 中点だけを3個選ぶとき

6つの中点うち正四面体の同じ面上にある2点を結んでいくと正八面体 になります。

中点どうしを結んでできる線分の長さは、正八面体の辺となるEFのような長さと、正八面体の辺にならないEIのような長さの 2種類しかありません。
中点から3個を選んで三角形を作ると、辺の長さはこの2種類のいずれかにしかならないので、できる三角形の少なくとも2つの辺の 長さは同じになります。
よって、中点だけを3個選んでできる三角形は必ず二等辺三角形となるので、その数は6個の点から3個を選ぶ選び方で、
計算式(6個から3個を選ぶ)
となります。

三角形EHFのような正八面体の面となる正三角形が8個、
中点だけ3個を選ぶとき(その1)

三角形EHIのようなHE=HIとなる二等辺三角形が12個です。
中点だけ3個を選ぶとき(その2)




以上から、求める選び方は、4+6+48+20=78(通り)





解答


78通り





>>次回出題は2010/11/29(15時)です、お楽しみに♪

>>他の問題を解いてみる



正解者用掲示板の過去ログ公開

正解者用掲示板に投稿いただいた投稿者とコメントを公開
※原則として10番目の投稿まで公開いたします。
※メールアドレスは公開いたしません。

投稿者 投稿日時 コメント
YU さん 10/25 10:42:46 場合分けをして考えました。(^^)
中点を何箇所使うか、使わないかのパターンを考えました。
またヨロシクです。
つも さん 10/25 12:41:05 簡単でした。
今日3回 さん 10/25 13:52:50 簡単すぎワロタw
そこらへんに落ちてそうな問題だなw
塾長 さん 10/25 16:32:44 中点のみで出来る三角形は二等辺オンリーですね。
ロイヤルロード さん 10/25 17:20:00 久しぶりに立体図形に取り組みました。
R さん 10/25 20:59:04 なんとか分かりました。
チャップリン さん 10/29 14:16:43 ・・・・・・笑
3 さん 10/30 19:30:07 余裕
りゅう さん 11/01 00:37:55 4度目か5度目でようやく正解しました。
場合分けをして考えましたが、漏れがあったり、
数え間違いがあったりで、苦戦しました。難しかったです。
暇鬼影 さん 11/02 00:07:02 正解に辿り着くまでは悩んでいたのに
辿り着いた後で振り返ると単純な問題だったと思える不思議