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脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

4つの整数

計算イメージ

問題

大きさの異なる4つの整数があります。
この4つの数から2つを選ぶと、その組み合わせは全部で6通りあります。
この6通りの組み合わせそれぞれにつき、選んだ2つの数の和を求めると、

 10、13、19、21、27、30
となりました。


この4つの整数の組み合わせをすべて求めてください。



解説

この問題は、答えが1通りとはかぎらないので、ただやみくもに数字をあてはめても正解にたどり着くのは困難です。答えに「もれ」がない事に注意して考えましょう。

大きさの異なる4つの整数を小さい方からA、B、C、Dとおきます。
6通りの組み合わせは、A+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+Dです。

最も和が小さくなるのは、最も小さい数Aと2番目に小さい数Bの和なので、A+B=10です。また、最も和が大きくなるのは、最も大きな数Dと2番目に大きな数Cの和なのでC+D=30となります。

2番目に和が小さくなるのは、A+CなのでA+C=13です。

3番目、4番目、5番目に和が小さくなる組み合わせがどれであるかを特定しなくてもここまでで答えを見つけることができます。


最も小さい数Aについて、場合分けをしてみましょう。

☆Aが0のとき

  • A+B=10、A+C=13よりB=10、C=13です。
  • C+D=30より、D=17となります。
  • このとき、A+D=17、B+C=23となるので、題意を満たすことができません。

☆Aが1のとき

  • A+B=10、A+C=13よりB=9、C=12です。
  • C+D=30より、D=18となります。
  • このとき、A+D=19、B+C=21、B+D=27となるので、題意を満たすことができます。

☆Aが2のとき

  • A+B=10、A+C=13よりB=8、C=11です。
  • C+D=30より、D=19となります。
  • このとき、A+D=21、B+C=19、B+D=27となるので、題意を満たすことができます。

☆Aが3のとき

  • A+B=10、A+C=13よりB=7、C=10です。
  • C+D=30より、D=18となります。
  • このとき、B+C=17、B+D=25となるので、題意を満たすことができません。

☆Aが4のとき

  • A+B=10、A+C=13よりB=6、C=9です。
  • C+D=30なので、D=21となります。
  • このとき、A+D=25、B+C=15となるので、題意を満たすことができません。

☆Aが5のとき

  • A+B=10よりB=5となり、A=Bとなってしまい、題意を満たすことができません。

☆Aが6以上のとき

  • AがBより大きくなってしまうので、不適切です。

※注 中学生以上の場合、さらにAが負の数の場合も考えなくてはなりません。

Aが−1のとき

  • 同様にして、B=11、C=14、D=16となり、このときA+D=15、B+C=25となるので題意を満たすことができません。

Aが−2以下のとき

  • C=DまたはC>Dとなるので、不適切です。

以上より、求める4つの整数の組み合わせは、(1、9、12、18)と(2、8、11、19)です。


別解

方程式を使って解きます。

6通りの組み合わせA+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+Dの大きさに注意して方程式をたてましょう。

B<C<DよりA+B<A+C<A+D、A<B<CよりA+D<B+D<C+Dなので、A+B<A+C<A+D<B+D<C+Dです。

また、A<BよりA+C<B+C、C<DよりB+C<B+Dなので、A+C<B+C<B+Dです。

ここで、A+DとB+Cの大小を決定することができないので、場合を分けて方程式をたてます。


☆A+D<B+Cのとき

A+B=10、A+C=13、A+D=19、B+C=21、B+D=27、C+D=30
これを解いて(A,B,C,D)=(1,9,12,18)

☆A+D>B+Cのとき

A+B=10、A+C=13、B+C=19、A+D=21、B+D=27、C+D=30
これを解いて(A,B,C,D)=(2,8,11,19)

以上より、(A,B,C,D)=(1,9,12,18)または(2,8,11,19)



解答

(1、9、12、18)と(2、8、11、19)


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