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脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

カードの数字の和(解説/解答)

5枚のカードがあり、1から9までの一桁の数字のうちのいずれかが書かれています。

同じ数字の書かれたカードはありません。

この5枚のカードから3枚を選ぶ選び方は10通りあります。

その選んだ3枚に書かれている数字の和はそれぞれ、

14、17、20、13、14、17、16、11、19、15

です。

このとき、5枚のカードに書かれている数字を求めてください。


正解者用掲示板のパスワードには、5枚のカードに書かれている数字を小さい順に半角数字で入力してください。

たとえば、5枚のカードが1、3、5、7、9のときは、「13579」と入力してください。




解説


5枚のカードに書かれている数字を小さい順にa、b、c、d、eとします。
3枚の和の組み合わせは次の10通りになります。

 a+b+c
 a+b+d
 a+b+e
 a+c+d
 a+c+e
 a+d+e
 b+c+d
 b+c+e
 b+d+e
 c+d+e

これらの和にはa、b、c、d、eがそれぞれ6個ずつでてきます。
選んだ3枚に書かれている数字の和は14、17、20、13、14、17、16、11、19、15になるので、

(a+b+c+d+e)×6=14+17+20+13+14+17+16+11+19+15=156

よって、

a+b+c+d+e=26

です。

ここで14、17、20、13、14、17、16、11、19、15のうち、もっとも小さい11ともっとも大きい20に着目します。
11はカードに書かれている5つの数字のうち小さい方から3つの数字の和で、20は大きい方から3つの数字の和です。

 a+b+c=11
 c+d+e=20

これらの式をたすと、
(a+b+c)+(c+d+e)=11+20=31

この式にはcが2個でてきます。
a+b+c+d+e=26なので、

 c=31−26=5
と分かります。

a+b+c=11なので、a+b=11−5=6
c+d+e=20なので、d+e=20−5=15

aとbについて、和が6になる組み合わせは1と5または2と4が考えられます。
しかし、1と5ではcも5なので、同じ数字の書かれたカードはないという条件に合いません。
よって、aとbは、

 a=2
 b=4
と決まります。

dとeについて、和が15になる組み合わせは6と9または7と8が考えられます。
ここで14、17、20、13、14、17、16、11、19、15のうち、2番目に小さい13に着目します。

2番目に小さい和は、a+b+dかb+c+dが考えられます。
この2組にはbとdが共通していて、aはcより小さいので、a+b+dはb+c+dより小さいことが分かります。
よって、13はaとbとdの和です。
a=2、b=4なので、
 d=13−2−4=7
残るeは8です。

a=2、b=4、c=5、d=7、e=8で、選んだ3枚のカードに書かれている数字の和の10通りは次のようになります。

 a+b+c=2+4+5=11
 a+b+d=2+4+7=13
 a+b+e=2+4+8=14
 a+c+d=2+5+7=14
 a+c+e=2+5+8=15
 a+d+e=2+7+8=17
 b+c+d=4+5+7=16
 b+c+e=4+5+8=17
 b+d+e=4+7+8=19
 c+d+e=5+7+8=20



解答

2、4、5、7、8


>>次回出題は2009/09/28(9時)です、お楽しみに♪

>>他の問題を解いてみる


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投稿者 投稿日時 コメント
doradatti さん 08/31 14:05:26 前回に引き続きの一番のり、って
どんな暇人…。
解き方ですが、10個の数字の和を全て足すと
156になり、これは5つの数字を6回づつ
使用しているので、6で割り、5つの数の合計が
26と判明。
次に数字の和の最大と最小を注目して20になる
組み合わせと11になる組み合わせを考えました。
20の場合、5-6-9,4-7-9,3-8-9,5-7-8の4つで、
あと残る2つの数字の和が上の条件より6で、
組み合わせとして1-5,2-4の二つになりました。
合計20は最大の組み合わせなので、条件が矛盾し
ないのは
2-4-5-6-9と2-4-5-7-8の2つが残り、
最小の方でも同様の確認を実施して同じ2つが残り
ました。
あとは電卓たたき、どちらが正しいか確認しました。
takoyaki さん 08/31 14:32:40 考え方はdoradattiさんと同じでした。
もう少し楽な方法を探してみたけれど
見つかりませんでした。
とおる さん 08/31 15:05:09 解き方が分からず、適当にやってみたら5分ほどで
出来ちゃいました。
正しい解法で答えにたどり着く人はすごい・・・
塾長 さん 08/31 15:39:20 できた。

a<b<c<d<eとして
a+b+c=11
b+d+e=19
c+d+e=20
の連立をするとa+2b=10がでてきました。
ここでa,b,c=2,4,5が決まりです。
d,e=6,9か7,8となり6があると、
和が12がでてきてしまい矛盾。みたいな。
タダミチ さん 08/31 15:59:11 最小値が11、最大値が20、2回出てくるのが17
であるとから、2、4、5、7、8を割り出しました。
CIIIクラスにて修行中! さん 08/31 21:49:14 みんな早いな〜
n さん 09/01 05:58:27 a<b<c<d<eとして、
6(a+b+c+d+e)=156
a+b+c+d+e=26
カードの和が最も小さくなる組み合わせは
a+b+c=11
最も大きくなるのはc+d+e=20、
次に大きいのはb+d+e=19でc=(b+1)
a+b+b+1=11、a+2b=10、a<bだからa=2 b=4 c=5
d+e=15で、b+c+e=17よりe=8 d=7
RYO さん 09/01 09:32:20 できた。
算数大嫌い さん 09/01 18:25:43 なんとなくで解けた。
tokumei さん 09/01 18:31:21 やっとできた!
10番目!