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脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

カレンダー(解答/解説)

問題

西暦2006年は1月1日が日曜日で,12月31日が日曜日です。
この2006年のカレンダーと全く同じカレンダーを使うことができるのは,2007年から2500年までの間に何回あるでしょうか。
ただし,祝日については考えないものとします。


☆参考:うるう年について

  • 4の倍数の年はうるう年とする。
  • 4の倍数であっても100の倍数である年はうるう年としない。
  • 100の倍数であっても400の倍数の年はうるう年とする。

解説

この問題を解くために、まず1年のはじめ(1月1日)と終わり(12月31日)の曜日の関係を平年とうるう年に分けて考えてみましょう。
平年のとき、1年は365日です。1週間は7日なので、
365÷7=52 あまり1
これは、1年間は52週と1日であることを意味します。
2006年の場合、1月1日は日曜日なので、日曜日から土曜日までの週が52回あって、日曜日で終わるということです。

週の計算

つまり、平年の年は1月1日と12月31日は同じ曜日になります。

うるう年のとき、1年は366日です。
366÷7=52 あまり2
これは、1年間は52週と2日であることを意味します。
1月1日が日曜日であれば、日曜日から土曜日までの週が52回あって、月曜日で終わるということです。

週の計算

つまり、うるう年の年は12月31日の曜日は1月1日の曜日より1つ進んだ曜日になります。
以上をふまえて、1月1日も12月31日も日曜日となる2006年のカレンダーと同じになる年を探してみましょう。

週の計算

上の表のように最初に2006年と同じになるのは11年後の2017年です。

年の表1

2回目は2017年から6年後の2023年です。

年の表2

3回目は2023年から11年後の2034年となります。

ここで、2035年以降を考えると、2035年が平年、2036年がうるう年・・・というように続くので、上の2007年から2017年の表と同じになります。よって、4回目は2034年の11年後の2045年です。
その後も上の表を順番にくり返すので、2051年、2062年・・・と続いていきます。

このように、11年後、6年後、11年後という28年間の周期で続いていきます。

ここまでをまとめると、2006年と同じカレンダーになる年は、
2017年、2023年、2034年、2045年、2051年、2062年、2073年、2079年、2090年の9回となります。

2100年が平年であることに注意すると、2090年の次に2006年と同じになるのは、2102年です。
その後は、2103年が平年、2104年がうるう年と続くので、再び2007年から2017年の表と同じになり、11年後、6年後、11年後という28年間の周期が続いていきます。
2102年から2199年までの間では、
(2199−2102)÷28=3 あまり13
となり、28年の周期が3回と13年のあまりには11年後を1回含むので、
1+3×3+1=11
より、2006年と同じカレンダーが11回あり、2197年が最後になります。

2200年が平年であることに注意すると、2197年の次に2006年と同じになるのは、2209年です。
その後、2210年、2211年と平年、2212年がうるう年と続くので、再び2018年から2023年の表と同じになり、以降は2299年まで6年後、11年後、11年後という28年間の周期が続いていきます。
2209年から2299年までの間では、
(2299−2109)÷28=3 あまり6
となり、28年の周期が3回と6年のあまりには6年後を1回含むので、
1+3×3+1=11
より、2006年と同じカレンダーが11回あり、2299年が最後になります。

2300年が平年であることに注意すると、2299年の次に2006年と同じになるのは、2305年です。
その後、2306年、2307年と平年、2308年がうるう年と続くので、再び2018年から2023年の表と同じになり、以降は2499年まで6年後、11年後、11年後という28年間の周期が続いていきます。
2400年はうるう年なので、2499年までは4年に1回うるう年となり、例外はありません。
2305年から2499年までの間では、
(2499−2305)÷28=6 あまり26
となり、28年の周期が6回と26年のあまりには6年後、11年後の2回含むので、
1+3×6+2=21
より、2006年と同じカレンダーが21回あり、2490年が最後になります。

最後に、2500年は2006年と同じカレンダーにはなりません。

以上より、2006年のカレンダーと全く同じカレンダーを使うことができるのは、2007年から2500年までの間に
9+11+11+21=52
より、52回あります。

2006年と同じカレンダーになる年は以下のとおりです。

年の表3

ちなみに、上の表のように、2000年代と2400年代でまったく同じ年がでてきます。
400年を周期として、くり返されるのです。

今年も良い年でありますように。


解答

52回


>>次回出題は2007/01/29(9時)です

>>他の問題を解いてみる


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投稿者 投稿日時 コメント
taka-ary さん 2006/12/25 02:01:09 規則性と特殊な場合を慎重に考えるのに苦労しました。。
amaya さん 2006/12/29 07:44:52 む、難しい・・・。
今回は苦労しました。。。
天災 さん 2006/12/30 14:57:45 でけた
チキンG さん 2007/01/06 16:58:22 よゆう。。。。ざこすぎ・・・・・
お さん 2007/01/07 06:13:12 やった。
いいいいい さん 2007/01/07 19:57:19 やったー
amaya さん 2007/01/10 19:47:25 チカラワザに頼ってしまったorz