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脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

割り算のあまり(解答/解説)

問題

ある3けたの数があります。
この数は、4で割っても、6で割っても、8で割っても1あまります。
また、この数は、5で割ると3あまり、7で割ると5あまり、15で割ると13あまります。


この3けたの数をすべて求めてください。



解説

3けたの数は100から999までと多いので、論理的に考えることが大切です。

まず、4で割って1あまる数はどのような数か考えてみましょう。
4の倍数であれば4で割り切れるので、4で割って1あまる数は4の倍数に1を加えた数です。
求める数は、4で割っても、6で割っても、8で割っても1あまるので、4の倍数でもあり、6の倍数でもあり、8の倍数でもある数に1を加えたものです。
4の倍数でもあり、6の倍数でもあり、8の倍数でもある数の中でもっとも小さい数(最小公倍数)は24なので、求める数は24の倍数に1を加えたものです

つぎに、5で割ると3あまり、7で割ると5あまり、15で割ると13あまる数を考えてみましょう。
5で割ると3あまり、7で割ると5あまり、15で割ると13あまるので、求める数に2を加えると5でも7でも15でも割り切れます。
5の倍数でもあり、7の倍数でもあり、15の倍数でもある数の中でもっとも小さい数(最小公倍数)は105なので、求める数は105の倍数から2を引いたものです。

以上より、求める数は24の倍数に1を加えたものであり、105の倍数から2を引いたものでもあります。

3けたの24の倍数は多いので、3けたの105の倍数を考えて、2を引いた数を下に書いてみます。

  • 103
  • 208
  • 313
  • 418
  • 523
  • 628
  • 733
  • 838
  • 943

求める数は、24の倍数に1を加えた数なので奇数です。偶数は除きます。
103、313、523、733、943のうち24で割って1あまるのは313のみです。



解答

313


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