インターネット・エクスプローラー(Internet Explorer 4以下)、ネットスケープ (Netscape 4.7以下)、テキストブラウザなどに対応したモードで表示しています。
数理検定協会はスタイルシートという仕組みを使用したページを提供しており、お使いのブラウザにより表示が異なりますが、サイト上にある情報はすべて問題なくご利用になれます。

脳力トレーニング

脳を鍛える問題にチャレンジ!!
「ひらめき/センス」を磨く問題を考えてみましょう!
解法に難しい公式は使いません、あきらめず考え抜くことがポイントです。

5けたの数(解答/解説)

5けたの正の整数X、Yがあります。

Yは、Xの各位の数字を逆の順番に並べかえた数です。

(例えば、Xが97532であれば、Yは23579となります。)


X、Yは次の条件を満たします。


・Xは、5で割ると3余る。

・Yは、11の倍数で、9で割ると8余る。

・YはXより19998大きい。


このようなXのうち、最も大きいものと最も小さいものを求めてください。


正解者用掲示板のパスワードには、 最も大きいもの、最も小さいものの順に半角数字で続けて入力してください。
例えば、最も大きいものが「97655」、 最も小さいものが「26879」であるときは「9765526879」と入力してください。




解説


5けたの数Xをabcdeとします。
Yは、Xの各位の数字を逆の順番に並べかえた数なので、edcbaとなります。

Xは、5で割ると3余る数なので、Xの一の位eは3または8です。

eが3のときと8のときで場合を分けて考えます。



  • eが3のとき

YはXより19998大きいので次の式が成り立ちます。

eが3のときのXとYの関係


3+8の一の位がaなので、aは1です。
十の位のd+9に、一の位の3+8のくり上がりの1を加えた数の一の位がbです。
つまり、d+10の一の位がbなので、bとdは同じ数であると分かります。
Xは 1bcb3、Yは3bcb1と表すことができます。


Yは、9で割ると8余り、11で割り切れる数です。
9の倍数は各位の数の和が9の倍数になりますので、9で割って8余る数は各位の数の和を9で割ると8余る数です。
3+b+c+b+1=b+b+c+4は9で割ると8余るので、b+b+cは9で割ると4余る数です。
また、11の倍数は、各位の数を、末位からかぞえて奇数番目の数の和から偶数番目の数の和を引いた残りの数が11の倍数(0も含む)になります。 3+c+1=c+4とb+bの差が11の倍数です。


これらを満たすbとcの組み合わせを考えます。
bを0とすると、b+b+cは9で割ると4余る数であることからcは4となりますが、このときc+4は8、b+bは0となり、c+4とb+bの差が11の倍数となりません。
このように、bに数をあてはめていくと次の表のようになり、条件を満たす組み合わせは、bが2でcが0のときだけです。

eが3のときのbとcの対応表


以上から、eが3のとき条件を満たすのは、aが1、bが2、cが0、dが2、eが3のときだけとなります。



  • eが8のとき

YはXより19998大きいので次の式が成り立ちます。

eが8のときのXとYの関係


8+8の一の位がaなので、aは6です。
十の位のd+9に、一の位の8+8のくり上がりの1を加えた数の一の位がbです。
つまり、d+10の一の位がbなので、bとdは同じ数であると分かります。
Xは 6bcb8、Yは8bcb6と表すことができます。

6+b+c+b+8は9で割ると8余るので、b+b+cは9で割ると3余る数です。
6+c+8=c+14とb+bの差は11の倍数です。

これらを満たすbとcの組み合わせを考えます。
bを0とすると、b+b+cは9で割ると3余る数であることからcは3となりますが、このときc+14は17、b+bは0となり、c+14とb+bの差が11の倍数となりません。
このように、bに数をあてはめていくと次の表のようになり、条件を満たす組み合わせは、bが2でcが0のときだけです。

eが8のときのbとcの対応表


以上から、eが8のとき条件を満たすのは、aが6、bが6、cが9、dが6、eが8のときだけとなります。




参考

倍数判定法




解答

最も大きいもの:66968
最も小さいもの:12023

>>次回出題は2010/08/30(9時)です、お楽しみに♪

>>他の問題を解いてみる


正解者用掲示板の過去ログ公開

正解者用掲示板に投稿いただいた投稿者とコメントを公開
※原則として10番目の投稿まで公開いたします。
※メールアドレスは公開いたしません。

投稿者 投稿日時 コメント
doradatti さん 07/26 11:31:30 一番のりゲット〜!
やっぱり数字の方が面白いっす。
解き方はxの5桁をabcdeとおいて、
e−a=2,d−b=0、e=3or8
a+b+c+d+e=9n+8
を導いてあとは11で割り切れる数字を
ゴリゴリ探しました。
ばやん さん 07/26 15:07:14 エクセル君に頑張ってもらいました。
まず,yの候補として30000以上の11の倍数で
なおかつ8を引いて9で割りきれる数
さらに,19998を引いてxの候補をもとめ,
xの候補の中でも3を引いて5で割り切れる数
を絞りました。
こうして絞った中でxとyの各位が入れ替わっている物
を選び出しました。
小生 さん 07/26 16:47:55 x=12023 y=32021
x=66968 y=86966
ロイヤルロード さん 07/26 16:52:47 X の条件からXの1の位は3または8、
Y の条件からYは 44+99×N(N:101〜807)
あとは、Y-X が 19998 であることから
X の最大値と最小値を求めました。
塾長 さん 07/26 19:26:31 11の倍数にとんでくれるのはやさしいですね^^
YU さん 07/26 22:46:37 整数は面白くて奥が深いですね。
またよろしくです。
こうちじん さん 07/27 09:54:46 クリアです!
エクセルを頼りに目星をつけて、あとは力技です。
佃煮 さん 07/27 13:20:03 疲れた。
ワンピース さん 07/28 09:01:26 面倒くさかった。
roko さん 07/28 09:39:37 xをabcdeとした時、e=3or8とわかったので、
数式を作って、a=1と6を導き出し、
後は倍数である事を頼りに、電卓で頑張りました!
計算苦手なので、ちょっと疲れた…