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数学用語集

算数・数学を学ぶ上で必要な用語をまとめました。用語集としてご活用ください。

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[A]を積 [演算の記号] と和+が定義されている集合とする。 [A] が次の(@)〜(E)の6つの公理を満たすとき、 [A]を環と呼ぶ。

(@)和の結合法則が成り立つ
[a,b,c∈A]に対して、
[(a+b)+c=a+(b+c)]


(A)零元の存在
すべての [a∈A]に対して、
[a+0=0+a=a]
を満たす [0∈A]が存在する。


(B)負元の存在
[a∈A]に対して、
[a+(-a)=(-a)+a=0]となる [-a∈A]が存在する。


(C)和の可換法則が成り立つ
任意の [a,b∈A]に対して、
[a+b=b+a]


(D)積の結合法則が成り立つ
任意の[a,b,c∈A]に対して、
[(ab)c=a(bc)]


(E)分配法則が成り立つ
任意の [a,b,c∈A]に対して、
[a(b+c)=ab+ac]
[(b+c)a=ba+ca]


(@)〜(C)は環[A] が和に関してアーベル群であることを示す。したがって、環とは和に関して アーベル群、積に関して半群で、 分配法則を満たすものである。

また、[A]単位元1を持つとき、すなわち、すべての [a∈A]に対して、
[a・1=1・a=a]
となる1を持つときに限り[A]を 環ということや、
[A]可換環のときに限り環ということもある。

参考