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数学知っ得雑学集

1+1=2とはならない無限の世界

りんご1個とりんご1個を合わせると個数はいくつになりますか?
あまりに簡単な問題なので、かえって答えに迷ったりしませんか?

足し算で考えれば1+1=2なので2個が答えになります。
では2個と2個では2+2あるいは2×2で4個、3個と3個では 3+3 あるいは2×3で6個、・・・これを一般に数学ではA+A=2A と書くことにしています。

ではこれを無限にあるものに使ってみましょう。
自然数は奇数1、3、5、…と偶数2、4、6、…からなっています。
ところで奇数1は自然数1と、奇数3は自然数2と、奇数5は自然数3というように1対1の対応をするので、どちらも過不足なく同じだけであるとみなすことができます。
同様に偶数も自然数と1対1対応するのでおなじだけあるとみなすことができます。

奇数や偶数の個数をそれぞれMと表すと、自然数は奇数と偶数を合わせたものであるから自然数の個数はM+Mつまり2Mとなるはずです。
ところが、元来自然数の個数はMであるから M+M=Mという計算が成立します。
つまり無限の世界では有限の世界での計算のルールは成立しません。

無限のものも無限に種類があることも知られている不思議な世界ですね。
ちなみに無限の世界では要素の個数を濃度と呼ぶことにしています。